ICM 场景中纳什均衡的局限性

在复杂的扑克锦标赛世界中，独立筹码模型（Independent Chip Model，ICM）在决策里扮演着关键角色。然而，当你更深入地研究博弈论与 ICM 时，常会遇到一些违反直觉、挑战传统理解的结果。本文旨在探讨 ICM 场景中纳什均衡（GTO）的局限性。

在本文中，我们将展示：

1. 不同的纳什均衡为何会有不同的 EV
2. 为什么“最低 EV 保证”不再成立
3. 为什么 GTO 策略可能会在对手犯错时反而损失 EV
4. 为什么增加行动选项反而可能降低 EV

• 非零和博弈中的纳什均衡
• EV 泄漏
• 为什么 GTO 策略会在对手犯错时损失 EV

• 为什么增加行动会降低 EV
• 总结

非零和博弈中的纳什均衡

在双人零和博弈中，无论双方采取什么策略组合，所有玩家收益之和都等于零。这意味着，一名玩家的收益恰好由另一名玩家的损失完全抵消。如果你在零和博弈中采用 GTO（也就是纳什均衡策略），就能获得一些非常有价值的保证：

最低 EV 保证：只要你按 GTO 打，就能保证自己至少拿到某个水平的期望值（EV）。对手的错误只会让你受益。给你的策略增加行动选项（例如更多下注尺度）只会对你有利。对手无法把你推入一个更差的纳什均衡。

这些性质众所周知，也正是大多数人最初被 GTO 吸引的原因。然而，这些保证只适用于单挑（HU）零和博弈。

锦标赛扑克表面上看像是零和的。毕竟，总奖金和总筹码都没有变化。但当筹码在两名玩家之间转移时，受影响的并不只是他们两人的 $EV。场上每一位玩家的锦标赛权益都会随之变化。

在锦标赛中，一手底池里两名玩家之间的收益和不再是零。他们的一部分 $EV 会泄漏给牌桌上的其他玩家。

如果收益之和（仅指这两名参与底池的玩家）不为零，那么很多性质就会失效。

最低 EV 保证：只要你按 GTO 打，就能保证自己至少拿到某个水平的期望值（EV）。对手的错误只会让你受益。给你的策略增加行动选项（例如更多下注尺度）只会对你有利。对手无法把你推入一个更差的纳什均衡。

需要说明的是，纳什均衡在非零和博弈中依然成立，而且定义清晰。你的对手无法针对 GTO 策略提高自己的 EV。但上面提到的那些保证，已经不再成立。

EV 泄漏

当你在锦标赛中赢下一手底池时，虽然你获得了筹码，但整个赛场的 {{tooltip-title: 锦标赛权益}} 分布也会随之改变。如果你淘汰了一名玩家，所有人都会自动上升一个名次，而每位存活玩家预计能分得的剩余奖金比例也会提高。你所拿到的那部分价值中，会有一部分“泄漏”给场上的其他玩家。这里所说的“价值”，指的是 ICM 模型所预测的你筹码的货币价值，也就是锦标赛权益；下文中我们将其简称为 $EV。

锦标赛权益（Tournament Equity）是指根据独立筹码模型预测，你在剩余奖池中所占的期望份额。

不过，这种现象也可能反向发生。$EV 既可能流向全场其他玩家，也可能从他们那里被吸走。当双方筹码更趋于平均、也就是都更接近平均码量时，这通常会从全场其他玩家那里抽走一部分 $EV。

示例一：卫星赛泡沫圈

最简单的例子，是一场只剩三人、前两名拿票的卫星赛泡沫圈：

• 卫星赛：前 2 名获胜
• 剩余 3 名玩家
• 三人都是对称的 10bb 筹码
• 无前注

你在 Button（BTN）弃牌后，小盲（SB）推入 10bb，大盲（BB）尚未行动。注意，无论结果如何，你的 $EV 都会上升。如果他们其中一人把另一人淘汰，你就直接拿到门票。即便 BB 弃牌，你的锦标赛权益也会从 33.33% 上升到 33.46%。SB 和 BB 正在把 $EV“泄漏”给你。在锦标赛中，即使你的筹码数完全没变，你的 $EV 也可能发生变化。

这就是最清晰的 $EV 泄漏概念：在锦标赛中，哪怕你的筹码数量没变，你的筹码货币价值（$EV）依然可能改变。

示例二：200 人场经典泡沫圈

接下来，我们来看一个 200 人场的经典泡沫圈场景：

• 买入 $200；剩余奖金池 $40,000
• 40bb 对称筹码
• 30 名进圈；剩余 33 名玩家
• 标准 GTO Wizard {{tooltip-title: 奖金结构}}

当两名玩家发生碰撞时，他们会把 $EV 泄漏给全场其他人。你从对手那里赢走的筹码越多，泄漏出去的 $EV 也越多。在这个场景里，由于筹码完全对称，每个人一开始都拥有 1/33 的锦标赛权益，也就是 $1212.12 的 $EV。

随着你不断从对手那里赢走筹码，你自己筹码的价值会上升，但其他所有玩家筹码的价值也会随之上升。如果你把对手淘汰并完成翻倍，对方会损失 $1212，而你只会增加 $698 的锦标赛权益。剩下的 $514，则会分配给全场其他玩家，因为他们距离进圈又更近了一步。

下图比较了你从对手那里赢筹码时，自己获得的锦标赛权益（$EV）利润与产生的泄漏：

为了更直观地理解，我们也可以把它换算成百分比。下图展示了失败方的 $EV 是如何在 Hero 与全场其他玩家之间分配的：

在极端情况下，如果对手被淘汰，你只能拿到对方 $EV 的 58%，剩余 42% 的 $EV 会平均分配给全场其他玩家（另外 31 人）。

我们也对一个 1000 人场的泡沫圈做了同样的实验，结果几乎一模一样。

示例三：1000 人场泡沫圈

我们对一场 1000 人锦标赛做了同样的计算：

• 买入 $200；剩余奖金池 $200,000
• 40bb 对称筹码
• 150 名进圈；剩余 153 名玩家
• 标准 GTO Wizard {{tooltip-title: 奖金结构}}

令人意外的是，结果变化并不大。无论按金额还是按百分比计算，这里的泄漏量都与 200 人场场景大致相同。从剩余人数占全场比例来看，这个位置在技术上确实更接近泡沫圈，但风险溢价几乎完全一致。

抽取（Drainage）

到目前为止，我们讨论的都是负和场景。但要展示相反的效果也同样容易，我把它称为“抽取（Drainage）”。Hero 和 Villain 并不一定总是把 $EV 泄漏给全场；他们也可能从其他玩家那里把 $EV 抽回来。这就是正和场景的一个例子。我们沿用前面那个 1000 人场示例，只把筹码改成如下分布：

• Hero：20bb
• Villain：60bb
• 场上其余玩家：40bb 对称筹码

你与大筹码全下拼硬币局。如果你翻倍，双方筹码会重新趋于平均，而你的锦标赛权益将增加 $475。大筹码玩家（Villain）会损失 $400，而全场其余玩家（150 人）合计还会损失 $75（平均每人约 $0.50）。这意味着，仅仅因为码量重新拉平，你就从全场其他玩家那里“抽走”了 $75。

本质上，这里发生的是：全场其他人本来都希望你出局，因为那会让他们更接近奖金圈。甚至在这手牌开始之前，你那个 20bb 的短码在统计上也更可能更早出局。可一旦你赢下这次全下对抗，筹码就被拉平了，其他剩余玩家进圈的概率会下降，拿到更高名次的概率也会下降。也就是说，你通过让筹码更接近平均，削减了所有人的锦标赛权益，而不只是从你赢筹码的那一个对手身上拿走价值。

这也解释了为什么通常来说，当筹码更接近平均时，你是在从全场其他玩家那里拿钱（抽取）；而当筹码进一步偏离平均时，你则是在把钱捐给全场其他玩家（泄漏）。需要注意的是，这个现象并没有一个公认术语，所以我只能临时造词来描述它。

当筹码更接近平均时，你会从全场其他玩家那里拿钱；当筹码更远离平均时，你则是在向全场其他玩家送钱。

理解“泄漏”这一概念，是正确解读 ICM 求解器结果的关键。就 $EV 的分配而言，这并不只是“hero 对 villain”，而是“hero 对 villain 对 field”。

一个物理学类比

也许可以借助一个类比来理解这种效应。在物理学中，封闭系统的总能量守恒，但局部反应可能会向系统其他部分释放能量（放热反应），也可能从系统其他部分吸收能量（吸热反应）。同样，在扑克锦标赛中，奖金的总货币价值也是守恒的。然而，两名玩家在一手底池中的 $EV 变化，会以一种在全场内部重新分配价值的方式发生：放热式行动会把价值泄漏（释放）给全场其他玩家，而吸热式行动则会从全场其他玩家那里抽取（吸收）价值。

为什么 GTO 策略会在对手犯错时损失 EV

在单挑（HU）的筹码 EV 场景中，纳什均衡（GTO）策略不会因为对手犯错而损失 EV。你的收益恰好等于对手的损失，反之亦然。但 ICM 打破了这条原则。即便你面对不完美对手打出了完美 GTO，依然可能损失 $EV。这让我想起一句著名的电影台词：

“你完全可能没有犯任何错误，却依然输掉。这不是软弱，这就是人生。”

—— Jean Luc Picard

问与答

GTO 策略会在对手犯错时损失 $EV。可这怎么可能？这是否意味着 GTO 已经没有用了？是不是说明锦标赛里应该把重心放在 exploit 打法上？我们马上会做几个实验，但先回答这些最迫切的问题：

为什么会这样？归根结底，还是因为泄漏。当对手针对你的 GTO 策略犯错时，他们可能会无意中增加或减少泄漏给全场其他玩家的 $EV 数量。对手本身无法通过对抗 GTO 来提高自己的 EV，但他们可以把原本属于你的部分 $EV 转移给全场其他玩家，反过来也可以。

这是否让 GTO 变得没用了？不会。如果没有一个扎实、不可被利用的基准策略作参照，你又如何识别 exploit 机会？不存在脱离基准而独立存在的 exploit 策略；所谓 exploit，本质上就是对基准策略的偏离。更何况，你并不总是有足够的信息去自信地利用对手，甚至大多数时候都做不到。

锦标赛里是否应该更重视 exploit？应该。ICM 限制了固定 GTO 策略的实用性。一般来说，偏向低波动的 exploit 通常是安全的，例如面对跟注站时让自己的范围更偏价值下注。但偏向高波动 exploit 则风险极高，例如针对一个紧弱玩家过度诈唬。要记住，泄漏往往会随着方差的提高而增加。

实验

设想这样一个场景：你正处在一场超大型 1k 人场 MTT 的决赛桌上。此时只剩三名玩家，而你就是其中之一。BTN、SB、BB 的筹码分别为 30、20、25bb。奖金结构如下：

你在 BTN 开池，SB 弃牌，BB 跟注，然后你在 Ah9s2c 6s Ks 这块牌面上三枪把河牌推满。

我们先从 GTO 对 GTO 的基准线开始作为比较。下面是河牌全下之后的策略：

可以看到，BB 理论上应该弃掉很多顶对，甚至连一些两对都要弃。总体来说，他们大约需要弃牌一半，你的诈唬才刚好打平。现在我们来看看，固定不变的 GTO 策略面对一个非 GTO 对手时，表现会怎样。

GTO 对抗错误：跟注站与紧手

• 跟注站：任何顶对或更强都会跟注（跟得非常宽）。
• 紧手：会弃掉一部分 0EV 的 bluff catcher 组合。

下面来看看，固定（不随对手变化）的 GTO 策略面对这两类玩家时会怎样：

手牌中的玩家

BTN（采用固定 GTO 策略的一方）面对跟注站时，实际上会损失大量 $EV；而面对紧手时，只会获得极少量 $EV。注意，无论哪种情况，BB 自己几乎都不会损失什么 $EV。作为跟注站的策略之所以会亏掉 $20，只是因为它最终用一些阻断牌不利的手去跟注了，但这个损失相对很小。泄漏几乎全部压在进攻方身上。

场上其他玩家

换个角度，从已经弃牌的 SB 视角来看。如果 BTN 和 BB 其中一方把另一方堆叠掉，SB 的 $EV 会显著上升。因此，任何会增加这种结果发生概率的策略组合，都会让 SB 受益。跟注站策略提高了这种概率，因此增加了泄漏；紧手策略则降低了这种概率，因此减少了泄漏。

Exploit 与反 exploit

BTN 并不需要死守固定的 GTO 策略。如果他知道 BB 防守过宽或过窄，就可以相应调整自己的诈唬。现在我们来衡量，针对紧手与跟注站采用 exploit 策略到底值多少钱。此外，只要在做 exploit 分析，最好总要同时衡量这种 exploit 被反 exploit 的可能性，以便评估其风险回报比。

利用跟注站

固定的 GTO 策略面对跟注站时，已经因为过度泄漏而在亏钱（GTO 为 -$354）。所以我们理应利用他。最简单的办法，就是直接停止诈唬，并进行更薄的价值下注（exploit 收益 +$378）。当然，对手也可以通过过度弃牌来反制你（反噬 -$279）。

这里有个很有意思的点：即便在绝对最糟糕的情况下，这种偏价值的 exploit 依然优于 GTO 对跟注站的固定打法。偏价值全下在最好与最坏情形下的收益区间是 $7323 到 $7979，而 GTO 策略面对跟注站时只有 $7247。

利用紧手

固定 GTO 策略面对紧手时，已经因为泄漏减少而有盈利（+$58）。但我们能不能更贪一点？针对紧手最简单的 exploit，就是拿任何没有摊牌价值的牌都去诈唬（exploit 收益 +$120）。但对手也可以通过永远跟注来反制你（反噬 -$1394，代价惨重）。

这个 exploit 的问题在于，它会显著抬高方差与泄漏，迫使双方更频繁地把彼此堆叠掉。它的风险回报比非常糟糕。为了最大化 exploit 一个紧手，你是在冒着损失 $1452（如果对手反制）的风险，去换取额外仅仅 $62 的收益（相对于 GTO 对紧手）。你的读牌至少要有 1452/(1452+62) = 95.9% 的正确率才值得这么做。如果你觉得哪怕只有 5% 的可能，这个紧手对手会开始反制你，那么这就是个糟糕的 exploit。

这里最关键的结论是：

在 ICM 压力很大的场景里，你应该更偏向低方差的 exploit。

务必要留意泄漏，始终记住：对手的损失并不会完整地变成你的收益，回报那一侧有很大一块会流向全场其他玩家。这就是 ICM 的本质。

为什么增加行动会降低 EV

ICM 对纳什均衡造成破坏的最后一种方式是：给某个玩家更多行动选项（例如更多下注或加注尺度），竟然真的可能让这个玩家的 $EV 下降。这听起来似乎不可能。毕竟，如果我们添加的是不盈利的行动，这名玩家完全可以不使用它们。那么，为什么给了一个人更多策略空间，反而会降低他的收益？

为了揭开这个谜题，我请教了聪明绝顶的日本科学家 Wataru。他是 GTO Wizard 的工程师，也是开源 WASM solver 的作者。我请他设计一些玩具博弈，帮助我理解这个概念。

底层原因，归根结底还是泄漏。简而言之，当我们为 GTO 策略增加更多行动时，可能会迫使对面的 GTO 对手用更激进的方式应对，从而增加泄漏。随着你加入更多下注尺度，你也给了求解器更多把钱打进底池的方法，这可能会提高双方整体的进攻强度。

当我们为自己的 GTO 策略增加更多行动时，可能会在无意间迫使对手以更激进的方式回应，从而增加泄漏。

负和玩具博弈

为了更好地理解这个概念，我们来看一个负和玩具博弈。这里，每位玩家都有 A0、A1、A2、A3、A… 这些行动，代表他们策略的激进程度。

越激进的策略对，其纳什均衡往往伴随更大的“EV 泄漏”，因此双方的 EV 都会下降。我们可以把收益矩阵表示如下：

注意，所有高亮的对角线格子都是纳什均衡。任何一方都没有动力偏离。

被动（均衡）策略对

在最好的情况下，也就是 A0/A0，双方收益都是 0。这代表一组较被动的策略对（soft-play）。双方都不会从彼此身上赢走太多筹码，因此泄漏出去的钱也更少。

激进（均衡）策略对

再看更激进的策略对 A3/A3。双方都在亏损 -3。因为他们更容易把彼此堆叠掉，从而向全场其他玩家泄漏 $EV。然而，双方依然都不想改变自己的策略。如果你试图用被动打法（A0）去对抗一个激进对手，你的收益会从 -3 恶化到 -6。也就是说，在这个玩具博弈里，你会被激励去匹配对手的激进程度。

现实中的锦标赛权益当然远比这个简单的玩具博弈复杂得多。但这个负和玩具博弈展示了几个关键概念：

• 可能同时存在多个纳什均衡。
• 不同的纳什均衡可能拥有不同的 EV。
• “最低 EV 保证”不再成立。
• 对手的错误可能把你强行拖进更差的均衡（想象一下泡沫圈上的疯子玩家）。

示例

你在一场卫星赛决赛桌上，前两名获奖，只剩三名玩家，每人都是 25bb。BTN 开池，SB 弃牌，你在 BB 跟注。公共牌发出 Qh6s2s 9h Ah，行动线是 XBC，XX。现在河牌 Ah 轮到你行动，你要决定 probe 还是 check。

我们来比较两种 BB 在河牌率先行动时可能采用的策略：

• 策略 1：永远 check
• 策略 2：BB 可以选择 check、probe 25%、probe 100%，或直接推入 357%；如果你 check，IP 无论如何都可以下注 40% 或直接全下。

首先，把这两种策略放在一起比较：

现在再看看 EV：

等等，让我确认一下：我们给 BB 增加了三个河牌 probe 下注选项，而他们的筹码尺度化锦标赛权益（{{tooltip-title: CSTE}}）反而从 1.78 降到了 1.72？

筹码尺度化锦标赛权益（Chip-Scaled Tournament Equity，CSTE）是指按锦标赛总筹码数缩放后的锦标赛权益。举例来说，如果你在 ICM 下对奖金池的份额是 5%，而当前总在场筹码是 1000，那么你的 CSTE 就是 50。CSTE 提供了一个标准化后的数值，便于在不同赛制与不同锦标赛阶段之间进行比较。它尤其适合拿来比较 ICM 与筹码 EV 场景，或者比较 $EV 与底池大小。CSTE = Total_Chips × $EV / Remaining_Prizes。

如果用真实美元来表示 EV，也许会更直观一些。假设两个获奖名次各值 $5000，那么对应的 $EV 如下：

注意，BB 在这里亏掉了 $7。这种事在筹码 EV 场景中绝不会发生。给 BB 更多策略选项，绝不可能让他们的 EV 下降；但在 ICM 场景里，这确实会发生。

当你观察双方 $EV 之和时，原因会更清楚。面对 probe-bet 策略，BTN 也在损失更多的钱。这里发生的是：当我们加入 probe 下注后，双方被迫进入了一个新的均衡（某种意义上，也更接近真实行动空间的均衡）。而这个新均衡更激进，于是对已经弃牌的 SB 产生了更大的泄漏。

必须说清楚，probe-bet 本身并不是不盈利的。如果它不赚钱，求解器就不会使用它。真正的问题在于，probe-bet 这种威胁本身会迫使 BTN 打得更激进，而这又意味着 BB 也必须更激进，从而增加泄漏。

反过来说，当 BB 被迫只能 check 时，他们的 check 范围会更强，于是 BTN 的过牌跟随频率也会更高。但当 BB 拥有 donk bet 选项时，BTN 面对 check 就必须更频繁地下注，否则就会面临被 exploit 的风险。

probe-bet 这一威胁本身，会迫使 BTN 打得更激进，而这又意味着 BB 也必须更激进，从而增加泄漏。

我们再加一组策略来验证这个假设：这次，BTN 和 BB 约定在河牌一路 check 到摊牌。

这是目前为止最好的策略对。注意它和前面那个负和玩具博弈有多相似。在这个场景里，越被动的策略对，整体收益越高。我们允许 OOP 越激进，IP 就越必须以激进回应，结果就是双方都把更多 $EV 泄漏给已经弃牌的 SB。

当然，在真实锦标赛里你没有这个选择。soft-play 出于充分理由是违反规则的。上面的例子只是一个提醒，帮助你理解并驾驭 ICM 策略，以及在增减下注机会时可能出现的均衡漂移。

总结

大概率你们中的大多数人并没有把整篇文章读完。但如果你读完了，值得表扬。至于那些只略读的人，下面给出一份回顾。

ICM 之所以会改变纳什均衡的动态，本质原因就在于泄漏。在单挑筹码 EV 场景里，对手损失多少，你就精确获得多少。但在锦标赛中并非如此。由于 ICM 的存在，当你淘汰一名玩家时，场上剩余玩家同样会获得一部分价值。

首先，我们更详细地考察了“泄漏”这一核心概念。

泄漏：核心结论

• 当你在扑克锦标赛中赢下一手底池时，由于 ICM 的存在，其中一部分价值会流向场上其他玩家。这就叫“泄漏（leakage）”。
• 泄漏意味着，单挑底池中的 $EV 总和不再恒定不变。更激进的策略对通常会把 $EV 泄漏给全场其他玩家；更被动的策略对通常泄漏更少。
• 泄漏可以有两种形式：要么把 $EV 泄漏给全场（我称之为“泄漏”）；要么从全场其他玩家那里抽取 $EV（我称之为“抽取”）。
• 当筹码更接近平均时，你会从全场其他玩家那里拿钱；当筹码进一步偏离平均时，你则是在向全场其他玩家送钱。

接着，我们展示了 GTO 策略如何在对手犯错时亏钱，以及这对 exploit 策略意味着什么。

ICM 下的 GTO 与 exploit：核心结论

• 尽管 exploit 在 ICM 场景里变得更有价值，但 ICM 下的 GTO 策略依然重要，因为它是你识别 exploit 机会的基准。
• GTO 可能会因为对手的错误而损失 $EV；但错误本身无法针对 GTO 提高自己的 $EV。
• 调整激进程度，可能会把 GTO 玩家的一部分 $EV 转移给全场其他玩家，或者反过来从全场转回给 GTO 玩家。但无论如何，你都无法通过对抗 GTO 来提高自己的收益。
• 一般来说，exploit 在 ICM 场景里确实更有价值。偏向低方差 exploit 往往是安全的，例如面对看起来像跟注站的对手时更偏价值；但偏向高方差 exploit 可能极其危险，例如对看起来很紧的对手过度诈唬。

最后，我们展示了增加下注尺度，如何把玩家推入新的均衡，而那个新均衡未必更好。

为什么增加行动会降低 EV：核心结论

• 通常你需要匹配对手的激进程度。
• 给某一方增加更多下注尺度，可能会在无意中同时降低双方的 $EV。
• 当你给某一方更多下注尺度时，通常会迫使对手也以更激进的方式回应，从而增加泄漏。

致谢

我想特别感谢我们的两位工程师：Philippe Beardsell（我们的引擎首席开发者）和 Wataru Inariba（破解了全新 ICM 公式的人）。正是他们帮助我理解了非零和博弈中纳什均衡的本质。在 GTO Wizard，我们很自豪能够汇聚业内最顶尖的头脑，不断推动扑克理论的边界。

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根据用户提供的授权对全文进行了中文翻译，并结合原文页面校正了快照中的乱码、断裂句与缺失符号。所有损坏的花色牌面均已规范化为 ASCII 扑克记号，如 Ah9s2c 6s Ks、Qh6s2s 9h Ah。保留了扑克术语、位置简称、玩家称呼、数字与示例顺序。

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