- 转载 / 翻译自：GTO Wizard Blog
- 原文标题：Why So Much? An Exploration of Larger-Than-Geometric Bet Sizing
- 原文链接：https://blog.gtowizard.com/why-so-much-an-exploration-of-larger-than-geometric-bet-sizing/
- 原文发布时间：2024-09-16T03:00:00.000Z
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在玩具博弈模型中，很容易证明：当一名玩家以完全极化的范围下注时，使用几何下注尺度能够使其 EV 最大化。也就是说，他们会选择一个底池百分比，使得如果在剩余每一个下注机会都按这个比例下注，那么最后一枪恰好就是全下。
不过，真实扑克要复杂得多。手牌的价值会随着街道推进而变化，这会从几个重要层面让“极化下注”这件事变得没那么简单：
- 即使对手弃掉的是比你更弱的牌，你依然可能获得 EV。这会激励你拿一些在被跟注时并非巨大领先、但既能从弃牌中获利、又能为薄价值/保护而下注的手牌去下注。
- 有些手牌的权益高度依赖于对手的跟注范围。比如较薄的价值下注，通常对较弱手牌表现很好，但一旦撞上对手最强的可能持牌，往往会非常难受。
- 那些有机会提升到足以进行大额价值下注的手牌，或是在某些阻断牌作用下未来能成为大诈唬的手牌，会更有动力在前面的街道提前下注。
- 在早期街道，你无法可靠地预测一手牌到了河牌时究竟会成为优秀的价值下注候选，还是优秀的诈唬候选。
这就是为什么我们通常不会在早期街道看到求解器大量使用几何下注。
- 翻牌前：没有任何一手德州扑克牌面对另一手牌是绝对锁死的。
- 翻牌圈：这种情况依然非常罕见。
- 转牌圈：出现不可战胜状态已经完全有可能。
- 河牌圈：一手牌对另一手具体持牌的权益总是 100% 或 0%（极少数平分底池时为 50%）。
因此，即便某一方拥有显著的坚果优势，我们仍然可以理解求解器的一个战略倾向：
对于河牌最后行动的玩家来说，求解器很常建议只使用几何下注尺度（因为这是最后一次下注机会，所以通常就是全下），哪怕这意味着下注达到数倍底池。
而前面街道较小的下注，则是为了容纳更宽、更线性的范围，使得用较弱手牌进行薄价值下注、保护下注以及覆盖更多牌面都能盈利。那些非常强、原本想把更多钱放进底池的手牌，如果小下注能诱导出 check-raise，它们仍然受益；即便没有诱导到，它们之后也还有两条街可以通过大额下注把差额补回来。
虽然没那么常见，但也有一些场景里，求解器会在早期街道推荐使用大于几何的下注尺度。这看起来会让人惊讶，因为几何下注本来就是让对手在剩余街道里被激励投入净金额最大的方式。既然如此，为什么那些非常强的手牌反而不想这么做？
我们可以先从一个简单例子建立直觉：有些情况下，求解器会推荐使用大于几何下注尺度（也就是 hypergeometric sizing），比如翻牌前和翻牌圈的直接全下。
翻牌前的大额全下
下面是 MTT 中，行动弃到 SB、有效筹码 25bb 时，求解器给出的 Chip EV 策略：
深红色的手牌会把 25bb 直接推入一个 2.5bb 的底池。它们有什么共同点？除了极少数例外，它们都相当强；毕竟场上只剩一名玩家还没行动，而那名玩家手里未必连一张 A 都有，更别说成对了。尽管这些牌明显高于平均水平，但它们作为全下之所以打得好，是因为能从弃牌权益中获利。即便是 BB 最差的手牌，面对它们通常也还有 35% 到 55% 的权益，而且这些手牌在后续街道往往很难操作。和 99 或 AQo 这类更强的牌不同，直接拿下底池本身就是个很不错的结果；但即便被跟注，这些牌也依然拥有不错的权益，甚至有时还是小幅领先。
这类全下在 MTT 中更常见，因为前注存在且筹码更浅，但它们在现金局中也同样可能有道理。下面是 6-max 现金局、100bb 有效筹码时，CO 面对 BTN 3-bet 的应对：
现在讨论的是：拿 100bb 去冒险，对抗一个更强的（3-bet）范围。虽然具体环境变了，但偏好全下的手牌类型却很相似：容易受压的口袋对子（比如 JJ，而不是 AA）以及不同花的 A-x（比如 AKo，而不是 AKs）。
翻牌圈的全下
翻牌发出之后，这类大额全下会更少见，但确实也会出现。下面是 100bb 现金局 3-bet 底池中，BB 对 BTN 的翻牌圈策略：
他们的大多数下注，都是一个高达 328% 底池的全下！和前面的例子一样，采用这条线的并不是他们最强的手牌。相反，主要是强一对和权益在 50% 到 60% 左右的听牌。这类牌在被跟注时仍有相当机会获胜，同时又能从对手弃牌中获得大量收益。
这是一个非常特定的场景，双方权益彼此咬得很紧。把所有翻牌面汇总来看，BB 的整体持续下注策略里，这种全下只占 0.2%。不过正如你所见，在这类罕见而特殊的翻牌面上，它却可能成为策略中非常重要的一部分，占比高达 28.4%。
顺带一提，这也是为什么 {{tooltip-title: Omaha}} 通常采用底池限注而不是无限注。因为类似这种双方权益非常接近的场景要多得多，如果玩家能直接全下以避免打后续街道，这个游戏就会少很多乐趣，也少很多策略层次。
Omaha：这是对若干种 Hold'em 变体的统称，其特点是玩家在翻牌前会拿到四张底牌。常见的奥马哈变体包括 Pot Limit Omaha 和 Omaha High Low Split。
既不是几何下注，也不是全下
现在我们已经对为什么某些强牌会想使用“大于几何”的下注方式有了一些直觉，接下来来看几个更棘手的案例：这种下注并不是全下。
在一手 BB 对 BTN 的 100bb 单加注 MTT 底池里，几何下注尺度应为 110.4%。然而，有些翻牌面上，预解算模拟最常用的 c-bet 尺寸却是 150%，尽管 100% 明显更接近几何下注尺度：
例子：742r
预解算模拟的可选尺度与偏好：
自定义求解模拟的可选尺度与偏好：
1 街几何下注尺度（1602% 底池，直接全下） > 大于几何的 150% 底池 > 小于几何的 100% 底池 > 66% 底池 > 33% 底池
1 街几何下注尺度（1602% 底池，直接全下） > 2 街几何下注尺度（238%） > 3 街几何下注尺度（110%） > 中间尺度 150% 底池
和我们前面看到的翻牌前全下一样，BTN 的许多最强手牌其实都比较脆弱，而且在后续街道会很难打。这包括顶对和较弱的超对。这些手牌当前强到足以打光筹码，但它们并不想把下注平均地分摊到三条街上，因为随着更多公共牌发出，它们会不断流失价值。因此，它们更愿意在翻牌圈前置兑现自己的价值，用明显偏大的下注把钱先塞进去。
拿 88 下一个巨额下注，可以从顶对或中对身上榨出更多价值；一旦后续街道出现高张，它未来往往就赚不到这么多了。同时，这种大下注还能比小下注逼掉更多 BB 范围中的“活高张”组合（例如面对 110% 底池下注时，BB 会跟注更多高张加后门同花听牌的组合）。
转牌继续开火
看起来，BTN 在翻牌圈的大额下注像是在为转牌全下做铺垫。但实际上，我找不到任何一张转牌会让求解器给 BTN 一个全下范围！在翻牌圈下注 238% 底池后，BTN 到了转牌几乎总是选择过牌，或者下注 70% 底池（这是剩余两条街的几何下注尺度）。这到底是怎么回事？为什么翻牌圈急着把钱往里铲，到了转牌又突然踩刹车？
原因在于：翻牌圈那个超池下注想达成的目标，大部分在翻牌圈就已经实现了。当 BTN 在翻牌圈下注 238% 底池时，BB 会弃掉大多数未成对的高张手牌，甚至连一些本来有可能反超的顺听牌也会弃掉。而现在只剩下一张牌要发，BB 靠补牌反超的前景已经大大减弱。
就算这些浮跟牌还留在 BB 的范围里，它们也只会分成两类：要么在转牌已经改善，以至于面对全下也不会弃；要么没有改善，于是即便面对较小下注也会弃牌。所以，BTN 范围中更偏极化的那部分，此时用几何下注最能完成自己的目标，就像玩具博弈中那样；而和翻牌圈不同的是，BTN 范围中更线性的那部分，也已经可以通过较小的转牌下注，拒绝掉自己想拒绝的大部分权益。
一个现金局例子
在 BTN 对 BB 的 100bb 单加注现金局底池中，几何下注尺度是 115.8%，比前面的 MTT 例子略大一些（因为 MTT 的前注抬高了底池）。预解算模拟给出的较大、但非全下的尺寸是 75% 和 125%，其中后者最接近几何下注。存在相当多的翻牌面，BTN 只要下注，几乎就清一色地选择 125% 底池：
和前面的 MTT 例子一样，如果在 AK6r 这个翻牌面上（这是预解算中 BTN 最常用 125% 底池 c-bet 的翻牌面）允许 BTN 使用更大的尺寸，那么在自定义模拟中，他们大多也确实更偏好这么做：
你可能已经注意到：在 100bb 现金局里，BTN 使用大额 c-bet 的那些翻牌面，往往并不是我们在 100bb 锦标赛例子里看到的那些低张翻牌。事实上，在这个现金局例子中，BTN 在 742r 上完全更偏好小下注，而这恰恰是前面 MTT 例子里 BTN 最常使用大下注的翻牌面。
现金局里的 BTN 依然持有那些较弱超对，以及许多在 MTT 例子里会受益于尽快往底池里塞钱的顶对手牌。差别在于现金局里 BB 的范围。由于没有前注来补贴翻牌前跟注，BB 的范围里 7-x、4-x、2-x 这种牌要少得多，因此 BTN 这些手牌能从中榨取的巨额价值也小得多。
当然，在 AK6r 上，BB 的范围里并不存在像 742r 那样的大量未成对高张。那么，此时这个大于几何的 c-bet 所拒绝掉权益的对象，就变成了小对子、卡顺听牌，甚至还有一些顶对：
BTN 的诈唬显然会从这种额外的弃牌权益中受益，但 AK 为什么也会在意逼掉那些只有 2 到 5 张补牌的手牌呢？
我们经常说“拒绝权益（denying equity）”，但更准确的说法其实应该是：这种下注是在拒绝这些手牌的 EV。没错，QT 在转牌击中卡顺的概率并不高，但一旦它中了，AK 往往就会输掉一个大底池。所以，把对手从这个听牌上逼走，拒绝的不只是那大约 8% 的成牌概率，更是它在那张“奇迹转牌”到来后能够因此赢走的全部钱。
一个转牌例子
启发我写这篇文章的那手牌，起始于一手 BB 对 BTN 的单加注 MTT 底池，有效筹码 50bb。翻牌是 QJ2r，BTN 下了 33% 底池的 c-bet（求解器在这里本质上是全范围小注），BB 跟注。之后 BB 在转牌 6 上过牌，此时几何下注尺度应为 108.5%，但求解器却建议 BTN 用其相当大的一部分范围下注 200% 底池：
既然我们现在已经熟悉了大于几何下注，那么这里的逻辑就能看懂了。翻牌圈的小下注激励 BB 用许多边缘手牌去跟注，同时也会用自己最强的手牌去加注。到了这张 blank 转牌上，BB 的范围大多已经被封顶，里面有很多相对较弱、但面对 BTN 宽广翻牌下注范围时仍具备不错权益的手牌。这种范围关系，通常正是转牌出现极化、几何下注的典型土壤。
真正推动这个超大下注出现的，是那些顺子听牌，因为它们是 BB 范围里最具动态性的手牌。和 BB 那些相对静态的 bluff catcher 类手牌不同，这些听牌到了河牌会“过度实现”自己的权益：中了时经常能赢大底池，没中时又能便宜地脱身。BTN 如果想从它们身上榨取价值，就必须在河牌发出之前完成。
而且，这里面确实有价值可拿。BB 较弱的顺听牌会弃牌，这一点本身就像前文讨论过的那样，具有不成比例的重要价值。但 KT 和 AT 在转牌面对 200% 底池下注时大多会跟注，尤其是后者，部分原因就在于它压制了 BTN 范围中的所有 KT。
为什么我们不更常看到这种打法？
很多牌面上都有顺子听牌，但这种大于几何的下注却并不常见。到底是什么让这些场合里的超大下注成为最优解？
这一点很难直接验证，但我怀疑除了前面提到的那些激励因素之外，还因为这些场景中的范围关系，使得 BTN 能够在往底池里投入这么多钱的同时，依然迫使 BB 用 bluff catcher 去防守。大额下注的风险在于：如果对手范围里有很多强牌，他们就可以只用这些强牌跟注、其余全部弃掉；这样一来，你的诈唬即便逼出了一些弃牌，整体仍未必盈利，因为一旦被跟注就会输得太多。正因如此，这些场景里很关键的一点是：BTN 在双方范围的顶端部分拥有明显优势。
下面是我们一直在分析的这个转牌场景的权益分布图。注意看：在双方范围中最弱的 67% 这部分里，BB 拥有更多权益；但到了范围顶端，BTN 就反超了。
我认为这并非巧合：BB 面对 200% 底池转牌下注时的弃牌频率，大约正好就是 67%。换句话说，这个下注的功能，就是把 BB 从其拥有优势的那部分范围中挤出去，迫使他们只能在高端范围上继续防守，而在那里 BTN 的手牌更强。
BB 的跟注几乎完全来自其范围顶端，只有一个显著例外：KT。
结论
在那些手牌价值不会发生变化的玩具博弈中，几何下注是坚果牌榨取价值的最高效方式。这类玩具博弈可以作为真实扑克场景的合理近似，尤其是在后面街道上，因为那时手牌价值通常会越来越静态。
在早期街道
但当强牌在后续街道有失去价值的风险时，不管这种风险来自新发出的公共牌、来自对手的下注，还是二者兼而有之，它们有时就会有动力通过大于几何的下注来前置兑现自己的价值。我们最常在翻牌前看到这种情况，因为平均而言，翻牌前各手牌之间的价值最接近，而大额全下既能拒绝对手的权益，又能确保你自己 100% 实现自身权益。
在后面街道
不过，即便到了后面街道，这种大下注有时也同样合理，因为你希望在听牌还没到河牌、还没获得“轻松决策权”之前，就先从它们身上榨取价值。这不一定意味着直接全下，因为你通常仍希望让自己范围中的诈唬在必要时能控制亏损，同时也希望让对手的中等强度手牌面对艰难决策；但这完全可能意味着使用大于几何的下注尺度。
这类下注是扑克理论中一个尚未被充分探索的领域，我也很期待继续深入研究它们。
（如果你还没看够这种大额下注的内容，另一位作者也写过一篇文章，从现金局的语境讨论了这个主题。）
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