赏金锦标赛理论（第二部分）：ICM 与权益下跌

在《赏金理论导论》第一部分中，我们分析了赏金锦标赛奖池的结构，如何构成若干可能非常重要的洞见基础，从而揭示赏金 MTT 与非赏金 MTT 在本质上的差异。尤其是，我们指出两个奖池 赏金奖池与常规奖池 具有不同的性质：

1. 常规奖池的运作方式与普通非赏金锦标赛相同，可以用 ICM 建模。
2. 而赏金奖池并不是按比赛名次分配，因此不能用 ICM 建模，而是主要遵循 Chip EV 模型。

基于这些观察，本文将进一步深入探讨：在赏金 MTT 的整个进程中，这两个奖池虽然各自独立运作，但又如何彼此协同，以及这种理解在理论上意味着什么。

具体来说，本文将探讨以下问题的机制与原因：

• 随着赏金 MTT 的推进，ICM 对常规奖池的影响，会与立即赢得赏金的 $value（equity drop，权益下跌），以及我们在赏金奖池中的按比例（Chip EV）份额提升，彼此竞争。
• 由于当我们作为 cover player 赢下一个全下底池时，赢得赏金会改变我们筹码堆的潜在总 $value，因此要从总奖池中赢得最多，最优策略可能与经典锦标赛显著不同。

ICM 与赏金权益下跌

在赏金 MTT 的任意时点，玩家会同时面对两种力量：相对于常规奖池的正向（ICM）风险溢价，以及 相对于赏金奖池的 仅对 cover player 生效的 负向（赏金）权益下跌。与此同时，covering 与 covered 双方的 bubble factor 也都会受到他们未来在赏金奖池中 Chip EV 份额的影响（见下方赏金 bubble factor 公式）。

所谓 equity drop，是指赏金的价值在某个具体场景下，对我们计算 bubble factor（BF） 也就是总风险溢价 时所施加的负向风险溢价压力。

我们来看看两种赛制中的 ICM bubble factor：

• 在常规非赏金锦标赛中，bubble factor 总是 >1，因此对应的是正风险溢价（以百分比表示）。例如，bubble factor 为 1.5，对应 +10% 的风险溢价。
• 但在赏金锦标赛中，bubble factor 可以 <1，这会对应负风险溢价。

（bubble factor = 1 表示零风险溢价，也就是 Chip EV。）

原因在于：当场上存在赏金时，如果我们赢下这个（全下）底池，我们会把“立即赢得的赏金 $value”加到自己赢牌后的筹码堆价值中；同时，还要计入稍后比赛中继续赢得赏金的 future EV。下面这个 toy game 示例，演示了影响各类 MTT 中 bubble factor 计算的一些基础变量。在这个理论例子中，我们假设 SB 全下，BB 在以下两种比赛的第一手牌跟注：一场 $100 的常规锦标赛，以及一场 $50+$50 的 Standard Knockout（SKO）赏金锦标赛（无前注）：

在常规锦标赛中，第一手翻倍会让我们的筹码 $EV 大致翻倍（这里做了取整；严格来说会略低于 2 倍，因为淘汰一名玩家所释放出的部分锦标赛权益，会分配给其余仍在场的玩家）。类似地，在 SKO 锦标赛中，如果我们在第一手赢下一个全下底池，那么我们在常规奖池中的筹码 $EV 也会（略低于）翻倍。除此之外，在 SKO 中，我们在赏金奖池中的份额也几乎会精确翻倍，因为赏金奖池是按 Chip EV 建模的 而且我们还会立刻赢得 $50。

在常规锦标赛里，bubble factor 不可能 <1，因为我们赢下底池时筹码 $EV 的潜在增幅，不可能大于我们输掉时筹码 $EV 的降幅。ICM 的基本原理是：你赢到的筹码，价值低于你输掉的筹码。比赛早期，这种差异很细微、几乎可以忽略；但在 ICM 压力很高的阶段，例如钱圈泡沫或决赛桌场景，这种差异就会非常明显。

决赛桌示例：ICM 与权益下跌

下面我们比较一下：在还剩三名玩家时，两种不同赛制下的 bubble factor 以及它们的计算方式。

常规非赏金 $100 锦标赛

• 剩余奖池 = $700，奖励分布如下：$400、$200、$100

SKO $50+$50 锦标赛

• 常规奖池的支付结构相同
• 剩余赏金奖池 = $150（三名剩余玩家每淘汰一人对应 $50 赏金）
• 剩余总奖池 = $850

还剩三名玩家时，15bb 的短码在这手牌开始时的 $ICM 价值约为 $177（这里的 $ICM 筹码值由 ICM calculator 求解得出）。如果这个 15bb 筹码通过击败 25bb 筹码翻倍到 30bb，那么它的新价值约为 $246；但如果在全下对抗中输掉，它只能拿到 $100。因此，15bb 短码相对于 25bb 中码的 bubble factor 为：

常规 MTT BF = 输掉时筹码 $EV 的减少 / 赢下时筹码 $EV 的增加

($177 – $100) / ($246 – $177) = $77 / $69 = 1.13 BF（约 +3% RP）

反过来，25bb 中码相对于 15bb 短码的 bubble factor 为：

($223.61 – $152.78) / ($288.89 – $223.61) = $70.83 / $65.28 = 1.09 BF（+2% RP）

但是，如果把上述场景改成一场 $50-$50 的 SKO 赏金锦标赛（常规奖池支付结构不变），那么所有 bubble factor 都会下降，包括被覆盖方也是如此：

→

在 SKO 中，无论这名中码在全下对抗中输还是赢，它在常规奖池（Regular Prize Pool, RPP）中的份额，与非赏金锦标赛中都是一样的。就赏金奖池而言，如果 25bb 筹码淘汰了 15bb 筹码，它会立刻多赢得一笔 $50 赏金，同时它在剩余 $100 赏金奖池（Bounty Prize Pool, BPP）中的份额，也会从 $41.67 提高到 $44.44。

每位玩家在剩余赏金奖池中的份额，是按照其筹码量占场上总筹码的比例来计算的（即“proportional”或 Chip EV 方法）。因此，我们可以把 25bb 中码相对于 15bb 短码的 bubble factor 计算为：

赏金 MTT BF = [($223.61 – $152.78) + ($41.67 – $16.67)] / [($288.89 – $224) + ($44.44 – $41.67) + $50] = $95.83 / $118.05 = .812（-5.2% RP）

现在我们已经算出了中码相对于短码的 bubble factor，可以看到这个场景中的 equity drop 大约是 -7%。

+2% RP（ICM） – (-5% RP（Bounty）)

equity drop，是指在没有赏金参与时的总风险溢价，与有赏金参与时的风险溢价之间的差值。

Bubble Factor、总风险溢价与赏金 MTT

淘汰赛中的 bubble factor 与常规 MTT 的计算方式不同，因为当我们淘汰一名玩家时，无论是在当前这手还是未来某手，赢得赏金都会带来额外价值。由于这种额外的支付机制，所有玩家的 bubble factor 也都会低于非赏金锦标赛。尽管在自己是短码的一手牌中，被覆盖玩家无法获得剩余赏金奖池中的任何部分，但它所承受的 ICM 压力仍然更低，因为在赏金赛里，受 ICM 影响的只占总奖池中的较小一部分，而常规锦标赛则是 100% 的奖池都受 ICM 影响。此外，被覆盖方始终有可能通过增加筹码，重新获得（或获得更多）对赏金奖池的访问权（见 future bounty EV）。

这种“future bounty EV”，会体现在赏金 bubble factor 的计算中，具体表现为：若该玩家输掉或赢下底池，其在赏金奖池中的筹码 $EV 会如何减少或增加。由于所有仍有筹码的玩家都在赏金奖池中拥有一份份额，而这部分是按 Chip EV 建模、并不受 ICM 影响，因此赏金锦标赛整体上的 bubble factor 更低。事实上，只要一名被覆盖玩家的筹码量翻倍，它在赏金奖池中的份额也会精确翻倍。

ICM 风险溢价与权益下跌是可加的

我们在上一篇文章中已经看到，赏金 MTT 的奖池被拆分为两部分。我们也能从赏金 bubble factor 公式中看出：玩家在每个奖池中份额的减少与增加，都是分别计算后，再在公式的分子与分母中相加的。

因此，我们可以进一步推导出：赏金 MTT 中的 bubble factor，一般可以表述为：

总风险溢价（Bubble Factor） = 常规奖池的（正向）风险溢价 + 赏金奖池的（负向）权益下跌。

接着我们可以用求解器来测试这个假设。下面是两场 MTT 在比赛开始时的 bubble factor；两者买入都为 $100，参赛人数都为 1000 人。左边是经典 MTT，右边是 SKO（$50 赏金）：

→

观察上面的 bubble factor，我们可以得到以下结论：

• 在经典 MTT 图表中，比赛开始时每位玩家的总风险溢价都是 +1.4%。
• 在 SKO 图表中，比赛开始时被覆盖筹码的总风险溢价是 +0.7%。
• 在 SKO 图表中，covering stack 的 bubble factor，也就是总风险溢价，是 -9.5% 到 -9.6%。

在本文前面的 toy game ICM 模型计算中，我们已经得出：在一场 50% SKO（$50+$50 buy-in）开始时，一笔赏金带来的 equity drop 是 -10%（对应 .66 的 bubble factor）。我们也可以用 pot odds 公式来计算这个风险溢价。假设起始筹码为 10,000，在 50% SKO 中，我们在赏金奖池中的份额价值相当于起始筹码的一半，也就是 5,000 筹码（而我们在常规奖池中的份额同样也值 5,000，因此合计为 10,000）。如果我们在比赛第一手位于 Big Blind，而 SB 全下：

跟注所需的权益百分比 = 跟注额 /（跟注额 + 对手筹码 + 赏金的筹码价值）= 10,000 / (10,000 + 10,000 + 5,000) = .4，也就是 40%

这里把 bounty EV 比喻成筹码来表达 虽然我们实际上并不会多赢 5,000 筹码，而是赢得 $50 现金 因此我们只需要 40% 权益就能跟注。如果没有这部分额外的赏金 EV，我们需要 50%，所以赏金造成了 -10% 的 equity drop。

不过，回头看上面的 SKO bubble factor 图表，covering stack 显示的 bubble factor 是 .68（-9.5%），而不是 .66（-10%）。为什么？

因为每一场 50% SKO 在开局时的 equity drop 的确都是 -10%，但锦标赛从第一手开始就已经存在 ICM 压力。SKO bubble factor 图表中的被覆盖筹码，显示的是 +0.7% 风险溢价。

把两者加起来，.7% + (-10%) = -9.3%；这和图表中的 -9.5% 很接近，但并不完全相同。为什么？

这里 0.2% 的差异，是因为 covering stack 在赢下底池时，除了赢得对手的筹码外，还会把盲注和前注一并赢走。另外，风险溢价在从 bubble factor 换算时，bubble factor 本身通常只保留到小数点后两位，因此也常会出现一些细微偏差。

结论

在赏金锦标赛中，被覆盖玩家的赏金价值 无论你把它表示成加入底池的“筹码价值”，还是表示成 equity drop 百分比 都是静态的。

有多种方式可以把这一点确立为公理。这里给出其中两种：

1. 通过 pot odds 对 equity drop 的计算。在 50% SKO 的起始阶段，赏金所对应的筹码价值等于起始筹码的一半，与被覆盖玩家的筹码量大小无关。
2. 通过证明：常规奖池与赏金奖池分别对应的正向与负向风险溢价压力是可加的，因为它们的和，正好等于与 bubble factor 对应的总风险溢价。

然而，与常规奖池相关的正风险溢价，对筹码分布极其敏感。因此，尽管每个被覆盖玩家的赏金，对所有 covering player 来说价值都相同，但所有 covering stack 的 bubble factor，或者说总风险溢价，仍会因为牌桌内以及整场比赛中的筹码分布不同而有所差异，因为筹码分布会强烈影响来自常规奖池的 ICM 压力。

在这个《赏金理论导论》系列的下一篇 也是最后一篇 文章中，我们将探讨如何把这些关于赏金锦标赛奖池的理论落实为实际计算，用来确定在 SKO 与 PKO 的赏金阶段开始时，赏金对应的筹码价值以及 equity drop。

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